Lecture 2. Elimination with Matrices

使用消元法求解方程组

在Lecture 1. The Geometry of Linear Equations中, 提到了使用消元法来求解线性方程组. 事实上消元法就如高中时候所学的, 将方程乘上某个系数使得某个未知数可以被消除. 只不过, 消元法是以线性代数的语言, 使用矩阵来进行运算.

假如有一个线性方程组如下:

$$x + 2y + z = 2 \\ 3x + 8 y + z = 12 \\ 4y + z = 2$$

用矩阵的形式来表示这个方程组则是如下:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2 \end{bmatrix}$$

使用消元法, 我们可以知道一个矩阵是”好”(非奇异, 可逆)的, 还是”坏”(奇异, 不可逆)的. 如果是一个性质良好的矩阵, 我们可以使用回代法来求出未知数. 如果是个性质没那么好的矩阵, 我们可以求出其他的一些东西.

首先, 消元的目的是将矩阵每一列只留下一个数, 其他消为0. 为了消元, 我们可以将任意一行乘上某个实数, 然后另一行减去这一行.

以这个矩阵来说:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \overset{r_2-3r_1}{\Longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} \overset{r_3-2r_2}{\Longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$$

在第一次消元时, 我们取第一行, 并从第二行减去三倍的第一行. 此时第一列只有第一行有非零数, 其他都为0. 此时, (1, 1)位置的1被称为主元. 而消元法的目标, 就是将矩阵消元到只有